Jawny wzór na współczynnik kierunkowy prostej regresji dla linii kapitału

Dzisiejszy wpis zawiera trochę matematyki. Jest to nawiązanie do przedstawionej ostatnio propozycji użycia współczynnika kierunkowego prostej regresji jako wskaźnika zysku. Podany tam wzór określał kryterium jego doboru, ale nie umożliwiał efektywnego wyznaczenia jego wartości na podstawie sekwencji zysków. Teraz zatem uzupełniam tę definicję o konkretną metodę obliczeń.

W charakterze prostego ćwiczenia matematycznego zadałem sobie trud opisania pośrednich kroków prowadzących do wyznaczania żądanej wartości parametru. Natomiast czytelnikom, których nie odstraszają symbole sumy i pochodnych proponuję prześledzenie tego prostego rozumowania.

Zacznę od przypomnienia funkcji, jaka ma podlegać minimalizacji pod względem współczynnika alfa. Poniżej jest ona przedstawiona w zwięzłej postaci symbolicznej:

Symbol y został wprowadzony na oznaczenie częściowych sum sekwencji z, czyli skumulowanych zysków:

Minimalizacja określonej powyżej funkcji sprowadza się do wyznaczenia jej pochodnej względem współczynnika alfa i przyrównania go do 0. Stanowi to, jak wiadomo, warunek konieczny występowania ekstremum lokalnego funkcji.

W tym przypadku ponadto, ze względu na fakt iż jest to suma kwadratów, jest to zarazem warunek wystarczający a ekstremum okazuje się poszukiwanym minimum. Powyższy warunek po prostym przekształceniu sprowadza się do następującego równania:

Którego rozwiązanie nie stanowi najmniejszego problemu, a uwzględniając wzór na sumę kwadratów początkowych n liczb naturalnych:

Otrzymujemy rezultat końcowy w postaci jawnego wzoru na alfa, czyli zarazem ocenę zysku strategii:

Wskaźnik ryzyka można teraz już wyznaczyć wstawiając doń uzyskaną wartość alfa a jego obliczenie można wykonać w pojedynczym przebiegu, co zapewnia zachowanie liniowej złożoności czasowej algorytmu.

Omawiana w ostatnich dwóch wpisach para wskaźników zysk/ryzyko jest o tyle interesująca, że ma dość odmienną interpretację geometryczną w porównaniu ze średnią czy nawet medianą. Jako ciekawostkę powiem, że wykonywane przeze mnie serie eksperymentów numerycznych w dużym stopniu to potwierdzały, ukazując odmienne i ciekawe zachowanie systemów bazujących na tych wskaźnikach. A jest to cecha przydatna z punktu widzenia koncepcji dywersyfikacji strategii, którą staram się intensywnie rozwijać.

Kontynuacja wątku tutaj.