Krótka refleksja na temat uogólnionych miar zysku i ryzyka jako kryteriów optymalizacji systemu transakcyjnego

W poprzednim wpisie przedstawiłem wyniki symulacji systemu transakcyjnego o zmodyfikowanej, w stosunku do pierwszych eksperymentów, funkcji kryterium zastosowanej dla optymalizacji parametru odwrócenia pozycji. Przypomnę krótko, że skumulowany zysk zastąpiła mediana, a zamiast maksymalnego obsunięcia w mianowniku odpowiedniego ilorazu pojawiło się odchylenie bezwzględne. Ponieważ w kolejnych kilku tekstach planuję zaprezentować wyniki uzyskane dla jeszcze paru innych funkcji kryterium, dzisiaj chciałbym krótko omówić uogólnioną koncepcję konstrukcji takich funkcji.

Ogólna idea jest dość prosta i oczywista – zarówno średnia z zysków (czyli skumulowany zysk po podzieleniu przez liczbę obserwacji) jaki i ich mediana służą do oceny globalnej zyskowności strategii czyli wartości oczekiwanej profitu. Z kolei maksymalne obsunięcie oraz odchylenie bezwzględne są miarami ryzyka czyli ujmują liczbowo rozproszenie uzyskiwanych wartości i związaną z tym niepewność wyników. Listę takich miar można rozszerzać, dokładając np. odchylenie standardowe, odstęp międzykwartylowy i zapewne jeszcze parę innych, mniej znanych lecz użytecznych wskaźników statystycznych.

Z powyższych dywagacji wprost wynika, że ogólna formuła omawianej funkcji kryterium i związany z nią schemat optymalizacji parametru można opisać następującym wzorem:

Wyjaśnienia może wymagać pojawiający się tutaj parametr oznaczony grecką literą theta wraz z symbolem przynależności do zbioru, zamiast wcześniejszego parametru odwrócenia pozycji p. Oznacza to jednak po prostu, że formuła ta ma charakter uniwersalny, a parametr podlegający optymalizacji może mieć dowolną interpretację. Również zakres wartości przezeń przyjmowanych nie zawsze musi stanowić przedział – może być zbiorem dowolnie określonym.

Powyżej opisane uogólnienie jest w zasadzie dość naturalnym wnioskiem, który można wysnuć po przejrzeniu kilku konkretnych przykładów takich funkcji. Powodem, dla którego poświęcam temu tematowi cały wpis jest propozycja jeszcze dalszego rozwinięcia tej idei. Opiera się ona na spostrzeżeniu, że jakkolwiek funkcja kryterium o powyższej konstrukcji spełnia podstawowy postulat – tzn. maksymalizacji zysku i minimalizacji ryzyka – to nie zadaje w jawny sposób proporcji pomiędzy tymi czynnikami. Innymi słowy, nie umożliwia określenia przez podmiot wydający polecenie optymalizacji (gracza-człowieka bądź też element systemu na wyższym poziomie hierarchii) jaki stopień ważności ma być przypisany mierze zysku a jaki ryzyka.

Od razu warto zauważyć, że pomnożenie licznika i/lub mianownika przez stałą nie rozwiązuje problemu, ponieważ stałe te mogłyby zostać wyniesione przed symbol operatora maksymalizacji, a w konsekwencji nie miałyby żadnego wpływu na wynik operacji. Konieczne jest zatem użycie bardziej złożonej funkcji – tutaj z pomocą przychodzi funkcja potęgowa. Z powodów, które będziemy szerzej omawiać w dalszych rozważaniach, praktyczne jest zastosowanie następującej, uogólnionej funkcji

gdzie symbol w oznacza wykładnik funkcji potęgowej i jest ustaloną liczbą nieujemną. Na obecną chwilę najprostszym argumentem na rzecz zastosowania funkcji potęgowej w mianowniku jest fakt, że miara ryzyka przyjmuje z definicji wartości nieujemne, a pomijając przypadki zdegenerowane, można przyjąć, że nawet ściśle dodatnie, co było szerzej dyskutowane tutaj.

Natomiast wprowadzenie zaproponowanego uogólnienia implikuje natychmiastowe pojawienie się kwestii doboru parametru w. Jak pamiętamy z rozważań dotyczących zdolności uogólniania liczba parametrów strategii powinna być możliwie jak najmniejsza, aby zapobiegać zjawisku nadmiernego dopasowywania do zbioru danych. Mając na uwadze ten postulat, do zagadnienia uogólniania funkcji kryteriów należy podchodzić z należytą rozwagą.